MATEMATIKA DISKRIT KOMBINATORIAL

Ridho Ramadhan

1801301095

TI 1d Matdis 

KOMBINATORIAL

Kombinatorial adalah ilmu yang mempelajari penghitungan jumlah penyusunan atau kombinasi objek objek tanpa harus mengenumerasinya. Pada kasus lain seperti :

a)    Berapa jumlah kombinasi password yang disusun dari 2 buah karakter.

b)    Berapa jumlah kombinasi warna yang tersusun atas nilai 16 digit biner.

c)    Berapa jumlah kombinasi dari juara lomba yang dipilih dari 9 orang peserta.

 Contoh, Sebuah password panjangnya 6 sampai 10 karakter. Katakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat?

Jawab:    - ridhoucuy0                  - ucuydi1234               -ridhoucuyy

                 - 1234567890              - awddawd888                        -......????dan setersunya

A. Aturan Penjumlahan dan Perkalian

Dalam kasus kombinatorial, seringkali ditemui tentang istilah percobaan. Percobaan banyaknya kemungkinan masing masing percobaan adalah :

·         Password dengan panjang 2 karakter

Jumlah = 4 * 4 = 16

·         Password dengan panjang 3 karakter

Jumlah = 4 * 4 * 4 = 64

·         Password dengan panjang 4 karakter

Jumlah = 4 * 4 * 4 * 4 = 256

Dengan aturan penjumlahan, maka seluruh kemungkinan susunan password yang ada adalah:

Total = 16 + 64 + 256 = 336 karakter

B. Permutasi ( susunan di perhatikan )

Permutasi adalah sebarang pengaturan dari sekumpulan objek dalam suatu urutan tertentu dari kumpulan tersebut dengan menggunakan seluruh objek dalam tiap tiap pengaturan. Sebagai contoh, abcd, acbd, bdca adalah permutasi dari sekumpulan huruf a, b, c, d  demham menggunakan seluruh huruf tadi dalam tiap tiap pengaturan.

Jika suatu kumpulan mengandung n objek dengan mengasumsikan r objek dalam tiap tiap pengaturan terurut dari sebarang r kurang dari sama dengan (<=) n objek disebut permutasi dari n objek dengan mengasumsikan r objek dalam tiap tiap pengaturan. Rumus permutasi :

nPr =       n!

(n-r)!

Contoh dari permutasi

1.      Dari 10 orang akan dipilih ketua dan wakil ketua. Tentukan banyak cara yang mungkin dilakukan?

Jawab = nPr = ₁₀P₂ = 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 90 cara

                                    8!            8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

2.      Dalam suatu kelas akan dipilih ketua, bendahara, dan sekretaris diantara 4 calon berapa banyak cara yang mungkin di lakukan?

Jawab = nPr = ₄P₃ = 4! = 4 * 3 * 2 *1 = 24 cara

                                  1! =          1

C. Kombinasi ( susunan tidak diperhatikan )

Dari n objek dengan pengambilan sebenyak r objek dalam tiap tiap pengambilan terdiri dari semua kumpulan r objek yang mungkin, tanpa memandang urutan pengaturannya. Banyaknya kombinasi n obje dengan pengambilan sebanyak r objek akan dinyatakan oleh _nC_r . Banyaknya kombinasi dari  n objek berbeda yang diambil sebanyak r objek sekali ambil adalah sama dengan banyaknya permutasi dari n objek itu yang diambil sebanyak r objek sekali ambil dibagi faktorial r, atau

_nC_r =        n!

 (n-r)!r!

Contoh dari Kombinasi :

Dari sebuah rak yang didalamnya terdapat 9 mainan yang berbeda beda, seorang anak diperbolehkan memilih 5 buah mainan. Tentukan banyak cara yang dapat dilakukan?

Jawab = nCr = ₉C₅ =  9! =    9 * 8 * 7 * 6 * 5  = 126 cara

                                     4!5!       4 * 3 * 2 * 5

DAFTAR PUSTAKA

 

Ayres, F. (2004). Kombinasi dan Permutasi. In P. A. Schmidt, MATEMATIKA UNIVERSITAS (pp. 84-91). Salt Lake: Erlangga.

Yan Watequils Syaifudin, D. S. (2017). Kombinatorial. In D. S. Yan Watequils Syaifudin, MATEMATIKA DISKRIT (pp. 80-94). Malang: POLINEMA PRESS.