MATEMATIKA DISKRIT KOMBINATORIAL

Ridho Ramadhan

1801301095

TI 1d Matdis 

KOMBINATORIAL

Kombinatorial adalah ilmu yang mempelajari penghitungan jumlah penyusunan atau kombinasi objek objek tanpa harus mengenumerasinya. Pada kasus lain seperti :

a)    Berapa jumlah kombinasi password yang disusun dari 2 buah karakter.

b)    Berapa jumlah kombinasi warna yang tersusun atas nilai 16 digit biner.

c)    Berapa jumlah kombinasi dari juara lomba yang dipilih dari 9 orang peserta.

 Contoh, Sebuah password panjangnya 6 sampai 10 karakter. Katakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat?

Jawab:    - ridhoucuy0                  - ucuydi1234               -ridhoucuyy

                 - 1234567890              - awddawd888                        -......????dan setersunya

A. Aturan Penjumlahan dan Perkalian

Dalam kasus kombinatorial, seringkali ditemui tentang istilah percobaan. Percobaan banyaknya kemungkinan masing masing percobaan adalah :

·         Password dengan panjang 2 karakter

Jumlah = 4 * 4 = 16

·         Password dengan panjang 3 karakter

Jumlah = 4 * 4 * 4 = 64

·         Password dengan panjang 4 karakter

Jumlah = 4 * 4 * 4 * 4 = 256

Dengan aturan penjumlahan, maka seluruh kemungkinan susunan password yang ada adalah:

Total = 16 + 64 + 256 = 336 karakter

B. Permutasi ( susunan di perhatikan )

Permutasi adalah sebarang pengaturan dari sekumpulan objek dalam suatu urutan tertentu dari kumpulan tersebut dengan menggunakan seluruh objek dalam tiap tiap pengaturan. Sebagai contoh, abcd, acbd, bdca adalah permutasi dari sekumpulan huruf a, b, c, d  demham menggunakan seluruh huruf tadi dalam tiap tiap pengaturan.

Jika suatu kumpulan mengandung n objek dengan mengasumsikan r objek dalam tiap tiap pengaturan terurut dari sebarang r kurang dari sama dengan (<=) n objek disebut permutasi dari n objek dengan mengasumsikan r objek dalam tiap tiap pengaturan. Rumus permutasi :

nPr =       n!

(n-r)!

Contoh dari permutasi

1.      Dari 10 orang akan dipilih ketua dan wakil ketua. Tentukan banyak cara yang mungkin dilakukan?

Jawab = nPr = ₁₀P₂ = 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 90 cara

                                    8!            8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

2.      Dalam suatu kelas akan dipilih ketua, bendahara, dan sekretaris diantara 4 calon berapa banyak cara yang mungkin di lakukan?

Jawab = nPr = ₄P₃ = 4! = 4 * 3 * 2 *1 = 24 cara

                                  1! =          1

C. Kombinasi ( susunan tidak diperhatikan )

Dari n objek dengan pengambilan sebenyak r objek dalam tiap tiap pengambilan terdiri dari semua kumpulan r objek yang mungkin, tanpa memandang urutan pengaturannya. Banyaknya kombinasi n obje dengan pengambilan sebanyak r objek akan dinyatakan oleh _nC_r . Banyaknya kombinasi dari  n objek berbeda yang diambil sebanyak r objek sekali ambil adalah sama dengan banyaknya permutasi dari n objek itu yang diambil sebanyak r objek sekali ambil dibagi faktorial r, atau

_nC_r =        n!

 (n-r)!r!

Contoh dari Kombinasi :

Dari sebuah rak yang didalamnya terdapat 9 mainan yang berbeda beda, seorang anak diperbolehkan memilih 5 buah mainan. Tentukan banyak cara yang dapat dilakukan?

Jawab = nCr = ₉C₅ =  9! =    9 * 8 * 7 * 6 * 5  = 126 cara

                                     4!5!       4 * 3 * 2 * 5

DAFTAR PUSTAKA

 

Ayres, F. (2004). Kombinasi dan Permutasi. In P. A. Schmidt, MATEMATIKA UNIVERSITAS (pp. 84-91). Salt Lake: Erlangga.

Yan Watequils Syaifudin, D. S. (2017). Kombinatorial. In D. S. Yan Watequils Syaifudin, MATEMATIKA DISKRIT (pp. 80-94). Malang: POLINEMA PRESS.

              

Fungsi Matematika diskrit

Ridho ramadhan

1801301095

TI 1d Matdis

FUNGSI

A. Pengertian Fungsi

     Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut dungsi apabila setiap anggota himpunan A di pasangkan tepat dengan satu anggota himpunan B. Himpunan A disebut dengan Domain  (daerah asal) sedangkan Himpunan B di sebut dengan Kodomain (daerah kawan), dan juga terdapat Range/daerah hasil .

 Dan sifat sifat fungsi dibedakan menjadi 3 ,yaitu :

1.    Fungsi injektif (Fungsi satu satu) , yaitu apabila setiap anggota kodomain hanya memiliki tepat satu pasangan di anggota domain. contoh gambar :

2.    Fungsi Subjektif (fungsi pada), yaitu apabila setiap anggota kodomain memiliki pasangan domain. contoh ga,mbar :

3.    Fungsi Bijektif (Fungsi koresponden satu satu), yaitu apabila fungsi tersebut adalah fungsi yang termasuk fungsi injektif dan subjektif. contoh gambar :

Contoh soal soal Fungsi :

1.    F : A  B

A = {1, 3, 5}

B = {x | x  N, x bilangan ganjil < 28}

a) f(x) = x²  + 2,

    f(x) = f(1) = 1² + 2 = 3

    f(x) = f(3) = 3² + 2 = 11

             f(x) = f(5) = 5² + 2 = 27

             RF = { 3, 11, 27} (Fungsi Polinomial)

       b) f(x) = 6  RF = {4} (Fungsi konstan)

         c) f(x) = 2^x  RF = {2, 8, 32} (Fungsi pangkat)

         d) f(x) = x + 2  RF = {3, 5, 7} (Fungsi polinomial)

2.   Selanjutnya adaah eekuivalens fungsi yaitu f=g  f(x) = g(x)... contoh soal:

Jika diketahui g:A  B , g(x) = 2.2^x-1

Jawab :

Cara pertama = g(1) = 2 . 2^1-1 = 2

                          g(3) = 2 . 2^3-1 = 8

                          g(5) = 2 . 2^5-1 = 32

Cara kedua g(x)  = 2 . 2 ^x-1

                                 = 2^1+x-y

                                     = 2^x(f(x))

B. Invers Fungsi

     Jika fungs f: A  B, dengan f ={(x.y) | y =f(x), x  A dan y  B} maka relasi g:B A, dengan g={(y,x) | x =g(y), x  A dan y  B} disebut invers fungsi f^-1 Jika f^-1 merupakan fungsi maka f^-1 disebut fungsi invers dan jika f^-1 bukan merupakan fungsi maka f^-1 disebut invers f.

Jika g ada, g dinyatakan dengan f^-1 sehingga f^-1 (y) = x  f(x) = y.

Invers fungsi  f^-1 (fungsi bijektif)

Contoh soal :

Carilah invers Fungsi F jika

F bilangan real dengan f(n) = n+2 ,  bilangan real

Jawab :

F(n) = n + 2

n = f(n) – 2

f^-1(n) = n – 2

f(n) = 2n-1             f^-1(n)

2n = f(n) + 1

n = (f(n)+1) /2    f^-1(n)=(n+1) / 2

C. Komposisi Fungsi

    Pengertian komposisi fungsi adalah penggabungan operasi 2 fungsi secara berurutan sehingga menghasil kan sebuah fungsi baru.

Diketahui fog adalah fungsi pada bilangan real :

f (n) = n + 2

g (n) = n^-2 -2n+1

ditanyakan : a.(fog n)

                     b.f(f(n))

jawab:   

a. (fog)(n) = (fogn)

                 = f(n^-2 - 2n+1)

                 = n^-2 – 2n+1+2

                 = n² – 2n+3

b. f(f(n))   = f (n+2)

                 = n + 2 + 2

                 = n + 4

c. (gof)(n) = g(f(n))

                 = g(n + 2)

                 = (n + 2)² – 2(n+2)+1

                 = (n + 2)(n + 2) – 2n – 4+1

                 = (n² + 2n + 2n – 4 – 2n

                 = n² + 2n + 1

Contoh soal :

f(x) = 3x + 2

g(x) = 2 – x

tentukan :

a. (fog)(x)

b. (gof)(x)

jawab :

a. (fog)(x) – f (f (x) )

    = f (2 – x)

     = 3 (2 – x) + 2

     = 6 – 3x + 2

     = -3x + 8

b. (gof)(x) - g (f (x) )

     = g (3x + 2)

     = 2 – (3x + 2)

     = 2 – 3x – 2

     = - 3x

DAFTAR PUSTAKA

Ridho, R. (n.d.). Fungsi Matematika diskrit. In H. Tampomas, Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi (pp. 5 - 10 & 47 - 70). Jakarta: Gramedia Widiasarana Indonesia (Grasimdo).