Fungsi Matematika diskrit

Ridho ramadhan

1801301095

TI 1d Matdis

FUNGSI

A. Pengertian Fungsi

     Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut dungsi apabila setiap anggota himpunan A di pasangkan tepat dengan satu anggota himpunan B. Himpunan A disebut dengan Domain  (daerah asal) sedangkan Himpunan B di sebut dengan Kodomain (daerah kawan), dan juga terdapat Range/daerah hasil .

 Dan sifat sifat fungsi dibedakan menjadi 3 ,yaitu :

1.    Fungsi injektif (Fungsi satu satu) , yaitu apabila setiap anggota kodomain hanya memiliki tepat satu pasangan di anggota domain. contoh gambar :

2.    Fungsi Subjektif (fungsi pada), yaitu apabila setiap anggota kodomain memiliki pasangan domain. contoh ga,mbar :

3.    Fungsi Bijektif (Fungsi koresponden satu satu), yaitu apabila fungsi tersebut adalah fungsi yang termasuk fungsi injektif dan subjektif. contoh gambar :

Contoh soal soal Fungsi :

1.    F : A  B

A = {1, 3, 5}

B = {x | x  N, x bilangan ganjil < 28}

a) f(x) = x²  + 2,

    f(x) = f(1) = 1² + 2 = 3

    f(x) = f(3) = 3² + 2 = 11

             f(x) = f(5) = 5² + 2 = 27

             RF = { 3, 11, 27} (Fungsi Polinomial)

       b) f(x) = 6  RF = {4} (Fungsi konstan)

         c) f(x) = 2^x  RF = {2, 8, 32} (Fungsi pangkat)

         d) f(x) = x + 2  RF = {3, 5, 7} (Fungsi polinomial)

2.   Selanjutnya adaah eekuivalens fungsi yaitu f=g  f(x) = g(x)... contoh soal:

Jika diketahui g:A  B , g(x) = 2.2^x-1

Jawab :

Cara pertama = g(1) = 2 . 2^1-1 = 2

                          g(3) = 2 . 2^3-1 = 8

                          g(5) = 2 . 2^5-1 = 32

Cara kedua g(x)  = 2 . 2 ^x-1

                                 = 2^1+x-y

                                     = 2^x(f(x))

B. Invers Fungsi

     Jika fungs f: A  B, dengan f ={(x.y) | y =f(x), x  A dan y  B} maka relasi g:B A, dengan g={(y,x) | x =g(y), x  A dan y  B} disebut invers fungsi f^-1 Jika f^-1 merupakan fungsi maka f^-1 disebut fungsi invers dan jika f^-1 bukan merupakan fungsi maka f^-1 disebut invers f.

Jika g ada, g dinyatakan dengan f^-1 sehingga f^-1 (y) = x  f(x) = y.

Invers fungsi  f^-1 (fungsi bijektif)

Contoh soal :

Carilah invers Fungsi F jika

F bilangan real dengan f(n) = n+2 ,  bilangan real

Jawab :

F(n) = n + 2

n = f(n) – 2

f^-1(n) = n – 2

f(n) = 2n-1             f^-1(n)

2n = f(n) + 1

n = (f(n)+1) /2    f^-1(n)=(n+1) / 2

C. Komposisi Fungsi

    Pengertian komposisi fungsi adalah penggabungan operasi 2 fungsi secara berurutan sehingga menghasil kan sebuah fungsi baru.

Diketahui fog adalah fungsi pada bilangan real :

f (n) = n + 2

g (n) = n^-2 -2n+1

ditanyakan : a.(fog n)

                     b.f(f(n))

jawab:   

a. (fog)(n) = (fogn)

                 = f(n^-2 - 2n+1)

                 = n^-2 – 2n+1+2

                 = n² – 2n+3

b. f(f(n))   = f (n+2)

                 = n + 2 + 2

                 = n + 4

c. (gof)(n) = g(f(n))

                 = g(n + 2)

                 = (n + 2)² – 2(n+2)+1

                 = (n + 2)(n + 2) – 2n – 4+1

                 = (n² + 2n + 2n – 4 – 2n

                 = n² + 2n + 1

Contoh soal :

f(x) = 3x + 2

g(x) = 2 – x

tentukan :

a. (fog)(x)

b. (gof)(x)

jawab :

a. (fog)(x) – f (f (x) )

    = f (2 – x)

     = 3 (2 – x) + 2

     = 6 – 3x + 2

     = -3x + 8

b. (gof)(x) - g (f (x) )

     = g (3x + 2)

     = 2 – (3x + 2)

     = 2 – 3x – 2

     = - 3x

DAFTAR PUSTAKA

Ridho, R. (n.d.). Fungsi Matematika diskrit. In H. Tampomas, Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi (pp. 5 - 10 & 47 - 70). Jakarta: Gramedia Widiasarana Indonesia (Grasimdo).

    

        

 ELEMEN  DASAR SISTEM KOMPUTER

1.      Software

2.      Hardware

3.      Brainware

1.Software

1.      Software Sistem

a.       Sistem Operasi (OS) : Windows, MacOS, LINUX, BSD, UNIX dsb

b.      Programming Language (Bhs. Pemrograman) : Assembly, Pascal, C, C++, Perl,

2.      PHP, dsb.

a.       Utility Sistem : Scandisk, Fdisk, dsb

3.      Nb: Windows ialah salah satu OS yang dibuat dengan bahasa JavaScript dan VbSript

2. Application Software

a. Custom Made Software: Software yang dibuat sesuai kebutuhan (seperti software penghitung bea listrik dari VB6, sudah dicoba di TKj loh)

b. Commecial Software/ Package Software

Word Processor, Desktop Publishing, Spreadsheet, Graphic Software, Database Management System .Perangkat lunak aplikasi umumnya menangani data jenis:
text, numbers, picture, sound dan video

3. Hak Cipta Perangkat Lunak

a. Software Gratis : Freeware, Public Domain (GNU)

b.Software dengan hak cipta : copyrighted software, shareware

4. Lisensi Software Komputer

Menurut Microsoft dalam "The Halloween Document" beberapa jenis lisensi

untuk program komputer:

a. Commercial License

Seperti Microsoft yang melengkapi windows dengan officenya, lotus, oracle.

software tersebut dibuat untuk kepentingan komersial, sehingga user yang mau

memakai harus mendapat izin dari pemegang hak ciptanya

b.Trial License

Biasa ditemui pada software untuk kepentingan demo sebelum diluncurkan kepasaran tetapi memiliki izin dalam bentuk masa aktif. lisensinya mengizinkan pengguna untuk memakai, menggandakan software secara bebas tapi terhalang oleh keterbatasan fungsi (layanan) dan masa aktif

c. Non Commercial License

Diperuntukkan untuk kalangan pendidikan/ yayasan tertentu dibidang sosial (seperti pustaka maya). sifatnya non komersial (gratis) tapi dengan batasan tertentu
d. Shareware License

Mengizinkan pengguna untuk menggunakan, menyalin ataupun menggandakan tanpa harus meminta izin pemegang hak cipta, berbeda dengan trial license ini tidak dibatasi oleh batas waktu dan memiliki fitur lengkap dan biasa ditemukan pada pembuat software kecil.

e. Freeware License

Ditemui pada software yang bersifat mendukung/ fasilitas tambahan seperti plug-in.
f.  Royalty- Free Binaries License

Serupa dengan freeware tapi produknya ialah berbentuk library yang berfungsi melengkapi software yang sudah ada (semacam tool).

g. OpenSource License

Membebaskan user untuk menjalankan, menggandakan, menyebarluaskan, mempelajari, mengubah dan meningkatkan kerja software. berbagai jenis license opensource berkembang sesuai kebutuhan. seperti GNU/ GPL, The FreeBSD, MPL. jenis software yang memakai lisensi semacam itu seperti Linux, Sendmail, Apache dan FreeBSD

2.Brainware

Di dalam komputer terdapat 2 perangkat yaitu Perangkat Lunak (Software) dan Perangkat Keras (Hardware). Tetapi dewasa ini, telah lahir sebuah perangkat yang telah dipadukan oleh manusia sebagai pemakainya. Perangkat tersebut disebut dengan nama Perangkat Akal (Brainware). Perangkat akal (brainware) itu sendiri adalah sebuah Istilah yang digunakan untuk manusia (user) yang berhubungan dengan sistem tersebut. Untuk lebih mudahnya,perangkat akal (brainware) adalah orang yang menggunakan komputer itu sendiri. Manusia (user) merupakan suatu elemen dasar dari sistem komputer setelah hardware dan software. Maksudnya adalah bila tidak ada manusia maka sebuah komputer tidak bisa digunakan sebagaimana yang diharapkan. Jadi manusia adalah orang yang merancang bagaimana suatu mesin tersebut dapat bekerja sesuai dengan hasil yang diinginkan atau yang diharapkan.

Perangkat Akal ini digolongkan menjadi beberapa kelompok, yaitu :

1.      Sistem Analisis

Beberapa pengertian dari sistem analisis :

a.       Orang yang Bertugas untuk menganalisis masalah yang berhubungan dengan komputer serta merancang sistem komputer.

b.      Seseorang yang menggunakan pengetahuan aplikasi komputer yang dimilikinya untuk memecahkan masalah-masalah bisnis,dibawah petunjuk manajer sistem.

c.       Seseorang yang bertanggung jawab untuk menterjemahkan kebutuhan-kebutuhan pemakai sistem (user) itu sendiri kedalam spesifikasi teknik yang diperlukan oleh programmer dan diawasi oleh manajemen.

2.      Fungsi sistem analisis :

a.       Mengidentifikasi masalah-masalah dari pemakai/user.

b.      Menyatakan secara spesifik sasaran yang harus dicapai untuk memenuhi kebutuhan user.

c.       Memilih alternatif-alternatif metode pemecahan masalah.

d.      Merencanakan dan menerapkan rancangan sistemnya sesuai dengan permintaan user.

3.      Tugas-tugas umum dari sistem analisis :

a.       Mengumpulkan dan menganalisis formulir,dokumen,file yang berkaitan dengan sistem yang berjalan.

b.      Menyusun dan menyajikan laporan perbaikan (rekomendasi) dari sistem yang berjalan kepada user.

c.       Merancang suatu sistem perbaikan dan mengidentifikasi aplikasi-aplikasi untuk penerapannya pada komputer.

d.      Menganalis dan menyusun biaya-biaya dan keuntungan dari sistem yang baru.

e.       Mengawasi semua kegiatan dalam penerapan sebuah sistem yang baru.

4.       Langkah kerja sistem analis :

a.       Tahap mengidentifikasi masalah kebutuhan user.

b.      Tahap melaksanakan studi kelayakan.

c.       Tahap analisis dan rancang sistem.

d.      Tahap penerapan sistem.

e.       Tahap evaluasi dan pemeliharaan.

5.      Programmer

Orang yang bertugas untuk membuat program yang akan diterapkan pada komputer.

6.      Tugas programmer

Pekerjaan dari seorang programmer adalah membuat program berdasarkan spesifikasi proses yang ditetapkan oleh perancang aplikasi. Hasil dari pekerjaan ini tentu adalah program yang dapat dijalankan,baik secara mandiri atau sebagai modul yang digunakan oleh modul atau program lain. Program yang dihasilkan itu sendiri,seharusnya terbebas dari kesalahan sintaks tetapi juga harus bebas dari kesalahan logika. Untuk mengetahui bahwa program yang dibuat sudah terbebas dari kesalahan maka harus dilakukan pengujian terhadap program tersebut.

7.       Pengujian

Pengujian program harus dilakukan pertama kali oleh pemrogram itu sendiri, setelah itu baru diserahkan dan dilakukan pengujian oleh penguji (tester) program. Bahan untuk pengujian harus disiapkan oleh perancang aplikasi atau pengguna. Bahan untuk pengujian suatu modul program akan terdiri atas banyak data dan prosedur. Setiap data dan prosedur disebut sebagai kasus uji (test case).

Satu modul akan memiliki banyak kasus uji. Mengapa? Karena di dalam suatu program atau modul, pada umumnya, di dalamnya akan terdapat lebih dari satu prosedur atau fungsi. Setiap prosedur dan fungsi akan memiliki kegunaan sendiri, maka sudah seharusnya setiap fungsi atau prosedur harus diuji. Pengujian pada level prosedur atau fungsi disebut sebagai pengujian pada level unit.

8.       Permasalahan programmer

Permasalahan yang sering timbul dalam suatu proses pengembangan adalah Perilaku dari programmer yang bisa jadi cukup menjengkelkan manajemen, yaitu programmer tidak melakukan pengujian dengan baik dan benar. Terkadang programmer hanya memperbaiki program, kemudian melakukan kompilasi. Jika kompilasi sudah tanpa kesalahan, programmer menganggap bahwa program telah benar.Spesifikasi program dari perancang aplikasi tidak selalu disertai dengan kasus uji, sehingga sering kali pengujian dilakukan oleh programmer tidak seperti yang diharapkan. Jadi ala kadarnya.

9.      Operator

Orang yang bertugas untuk mengoperasikan program yang telah dibuat oleh seorang programmer. Tugas dari seorang operator adalah. Memelihara dan mengontrol fisik perangka.t di ruang komputer. Mengontrol dan mencatat kerja perangkat komputer dan perangkat pendukung ruang.mempersiapkan dan mengoperasikan perangkat dan media rekaman (disk/tape) sesuai dengan jadwal yang sudah ditentukan.Membuat catatan mengenai kesibukan komputer untuk mendukung perancangan pekerjaan instalasi komputer.  Memproses data sesuai dengan ketentuan (waktu prioritas tahap proses, kelengkapan keluaran). Menjaga keamanan benda inventaris, data program, paket dan informasi dari orang-orang yang tidak berhak. Mencatat waktu operasi dan kebutuhan operasi ruang komputer.

10.  Teknisi

Orang yang mempunyai tugas untuk melakukan perawatan atau perbaikan terhadap peralatan komputer yang mengalami kerusakan dan menganalisa serta mencari solusi kerusakan yang ada pada sebuah computer dan Interaksi antar komponen.

Dari ketiga komponen dalam sebuah sistem komputer yaitu hardware,software,brainware,satu dengan yang lainnya berkaitan erat. Jika satu komponen saja tidak ada maka sistem komputer tidak dapat berjalan sebagaimana mestinya. Contohnya adalah sebagai berikut,sebuah hardware tidak akan berfungsi bilamana tidak ada software yang menggerakkannya. Begitu pula software tidak akan berarti apa-apa bilamana tidak ada hardware.agar hardware dan software dapat berjalan seperti yang diharapkan maka harus ada seorang manusia yang mengoperasikannya,yang disebut brainware. karena komputer hanya merupakan rangkaian komponen-komponen elektronik yang dapat berfungsi atau bekerja bila semua komponen utama-nya saling mendukung. Kesimpulannya ketiga elemen ini yaitu hardware,software,dan brainware harus memiliki suatu hubungan yang saling menguntungkan (simbiosis mutualisme) satu dengan yang lainnya agar sebuah sistem komputer dapat menghasilkan informasi dan data yang dibutuhkan. Jadi Peranan manusia disini didalam interaksi ini sangat penting (vital) karena seperti yang sudah tertulis di bagian atas bahwa sebuah mesin komputer tidak akan berfungsi jika tidak ada manusia (brainware) yang menjalankannya.

3.Hardware

Perangkat keras, merupakan salah satu element dari sistem komputer, suatu alat yang bisa dilihat dan diraba oleh manusia secara langsung, yang mendukung proses komputerisasi. pada suatu sistem komputer adalah termasuk semua komponen-komponen fisik dari komputer itu sendiri, juga keyboard, mouse, monitor, speaker, dan lain-lain. Agar hardware komputer dapat berfungsi dengan baik, suatu komputer memerlukan program. Program terdiri dari daftar instruksi-instruksi yang memberitahukan komputer bagaimana melakukan keempat operasi pada siklus pemrosesan informasi dalam rangka menjalankan suatu tugas atau kegiatan tertentu.

Komputer pada umumnya adalah komputer pribadi, (PC) dalam bentuk desktop atau menara kotak yang terdiri dari bagian berikut:

1. Papan sistem / papan induk yang merupakan tempat CPU, memori dan bagian lainnya, dan memiliki slot untuk kartu tambahan.

a.       RAM - tempat penyimpanan data jangka pendek, sehingga komputer tidak perlu selalu mengakses hard disk untuk mencari data. Jumlah RAM yang lebih besar akan membantu kecepatan PC

b.      Buses:

2.      Bus PCI

1.Bus ISA

2.USB

3.AGP

a.       ROM (Read Only Memory) di mana firmware diletakkan

b.      CPU (Central Processing Unit) sebagai otak dan bagian utama komputer

3. Power supply - sebuah kotak yang merupakan tempat transformer, kontrol voltase dan kipas
4. Pengontrol penyimpanan, dari jenis IDE, SCSI atau lainnya, yang mengontrol hard disk, Floppy disk, CD-ROM dan drive lainnya; kontroler ini terletak di papan induk (atas-papan) atau di kartu tambahan
5. Pengontrol penampilan video yang memproduksi output untuk komputer display
6. Pengontrol komputer bus (paralel, serial, USB, Firewire) untuk menyambung komputer dengan alat tambahan luar lainnya seperti printer atau scanner
7. Beberapa jenis penyimpanan komputer:

a.       CD - tipe paling umum media yang dapat dilepas, murah tapi mudah rusak.

1.CD-ROM

2.CD-RW

3.CD-R

b.      DVD

1.      DVD-ROM

2.      DVD-RW

3.      DVD-R

c.       Floppy disk

8.      Penyimpanan dalam, menyimpan data dalam komputer untuk penggunaan jangka panjang.

a.       Hard disk - untuk penyimpanan data jangka panjang

b.      Disk array controller

9. Kartu suara , menerjemahkan signal dari papan sistem ke bahasa yang dapat dimengerti oleh speaker, dan memiliki terminal untuk mencolok kabel suara speaker.
10. Jaringan komputer ,untuk menghubungkan komputer ke internet dan/atau komputer lainnya.

a.       Modem - untuk koneksi tekan-tombol.

b.      Kartu network - untuk internet DSL/kabel, dan/atau menghubungkan ke komputer lain.

11. Alat lainnya.

Sebagai tambahan, perangkat keras dapat memasukan komponen luar lainnya. Di bawah ini merupakan komponen standar atau yang umum digunakan.

a.Input:

1.      Keyboard

2.      Alat penunjuk

3.      Mouse

4.      Trackball

5.      Joystick

6.      Gamepad

7.      Scanner gambar

8.      Webcam

9.        Tablet Grafis

b.Output:

1.      Printer

2.      Speaker

3.      Monitor

4.      Jaringan/Networking

5.      Modem

6.      kartu network